درسنامه آموزشی فیزیک (2) کلاس یازدهم تجربی
فصل 3: نیروی مغناطیسی وارد بر ذرّۀ باردار متحرک در میدان مغناطیسی
آزمایش نشان میدهد که اگر ذرّهٔ باردار $q$ با سرعت $\overrightarrow{v}$ در میدان مغناطیسی $\overrightarrow{B}$ حرکت کند (به شرط آنکه جهت حرکت آن با میدان مغناطیسی موازی نباشد) بر آن نیرویی وارد خواهد شد که مطابق شکل 3-9 الف بر راستای سرعت و میدان مغناطیسی عمود است. این نیرو را نیروی مغناطیسی مینامند و جهت آن، مطابق شکل 3-9 ب و پ به کمک قاعدهٔ دست راست تعیین میشود. اگر دست راست خود را طوری نگه داریم که انگشتان باز شدهٔ ما در جهت $\overrightarrow{v}$ باشد -به گونهای که وقتی آنها را روی زاویهٔ کوچکتری که $\overrightarrow{v}$ با $\overrightarrow{B}$ میسازد، و در جهت چرخش طبیعی انگشتان خم کنیم در جهت $\overrightarrow{B}$ قرار گیرد- انگشت شست ما در جهت نیروی وارد بر ذرّهٔ باردار، مثبت خواهد بود. توجه کنید که نیروی وارد بر بار منفی، در خلاف جهت نیروی وارد بر بار مثبت است.
نیروی مغناظیسی $\overrightarrow{F}$ وارد میشود. (ب) و (پ) جهت این نیرو به کمک قاعدۀ دست راست تعیین میشود.
نیکُلا تسلا (1943 - 1856)
تسلا در کرواسی به دنیا آمد. او بعدها به امریکا مهاجرت و مدتی با ادیسون همکاری $(dc)$ کرد. ادیسون همواره با جریان مستقیم کار میکرد، با این وجود، وی کارکردن با جریان متناوب $(ac)$ با ولتاژهای بسیار بالا را عملی ساخت. تسلا از اینکه جریان متناوب برای اوّلین بار در صندلی الکتریکی به منظور اعدام مورد استفاده قرار گرفت شدیداً ناراحت بود. وی همچنین طراح تولید برق در آبشار نیاگارا بود. به پاس خدمات وی، یکای $SI$ میدان مغناطیسی را با تسلا نشان میدهند.
اندازهٔ نیروی مغناطیسی وارد بر بار الکتریکی در حال حرکت از رابطهٔ زیر به دست میآید:
(1-3) $F=|q|vB\sin \theta $
در این رابطه $|q|$، بزرگی بار الکتریکی، $v$ تندی (اندازه سرعت) بار الکتریکی، $B$ اندازهٔ میدان مغناطیسی و $\theta $ زاویهٔ بین جهت حرکت بار الکتریکی (بردار $\overrightarrow{v}$) با جهت میدان مغناطیسی (بردار $\overrightarrow{B}$) است (شکل 3-10).
رابطهٔ 3-1 نشان میدهد وقتی بار الکتریکی $q$ عمود بر راستای میدان مغناطیسی حرکت کند $(\sin \theta =sin90{}^\circ =1)$، اندازهٔ نیروی مغناطیسی وارد بر بار الکتریکی، بیشینه میشود $(F={{F}_{\max }})$.
بنا به رابطهٔ 3-1، یکای $SI$ میدان مغناطیسی معادل است با:
$\equiv \frac{N}{C.m/s}=\frac{N}{A.m}$ یکای $SI$ میدان مغناطیسی
این یکا به احترام نیکُلا تسلا دانشمند و مخترع نامی، تسلا نامیده میشود و به اختصار با نماد $T$ نشان داده میشود. به این ترتیب میتوان نوشت:
(2-3) $1T=1\frac{N}{C.m/s}=1\frac{N}{A.m}$
تسلا یکای بزرگی است و در برخی موارد از یکای قدیمی (غیر $SI$) و کوچکتری به نام گاوس (با نماد $G$) استفاده میکنند به طوری که داریم $1T={{10}^{4}}G$. اندازهٔ میدان مغناطیسی زمین در نزدیکی سطح زمین در قطبها بیشترین $(0/65G)$ و در استوا کمترین $(0/25G)$ است. بزرگی میدان مغناطیسی در نزدیکی آهنرباهای میلهای کوچک حدود $0/01$ تا $0/1$ تسلا است. همچنین بزرگترین میدان مغناطیسی مداوم که امروزه در آزمایشگاه تولید شده، حدود 45 تسلا است.
کارل فریدریش گاوس (1855 - 1777)
گاوس، ریاضیدان، فیزیکدان و ستارهشناس آلمانی است که مدتی مدیر رصدخانهٔ گوتینگن بوده است. گاوس یکی از ریاضیدانهای بزرگ و برجستهترین کارش در نظریهٔ اعداد است. او به انجام محاسبههای بیاندازه بغرنج علاقهمند بود. وی همچنین روشهای تازهای برای محاسبه در مکانیک سماوی به دست آورد. گاوس روی پدیدههای الکتریکی و مغناطیسی نیز فعالیت زیادی کرد و قانونی به نام وی در مبحث الکتریسیته وجود دارد.
مثال 3-1
ذرّهای با بار $q=-4/0nC$ و با تندی $v=20m/s$ در جهتی حرکت میکند که با میدان مغناطیسی یکنواخت $B=120G$ زاویهٔ $\theta =60{}^\circ $ میسازد (شکل زیر).
اندازهٔ نیروی مغناطیسی وارد بر این ذرّه را حساب کنید.
پاسخ: با توجه به فرضهای مسئله داریم:
$\theta =60{}^\circ $ ، $B=120\times {{10}^{-4}}T$ ، $v=20m/s$ ، $|q|=+4/0\times {{10}^{-9}}C$
با قرار دادن دادههای بالا در رابطهٔ 3-1 داریم:
$F = |q|vB\sin \theta $
$ = (4/0 \times {10^{ - 9}}C)(20m/s)(120 \times {10^{ - 4}}T)\sin {60^{^\circ }} \approx 8/3 \times {10^{ - 6}}N$
پرسش 3-4 (صفحهٔ 72 کتاب درسی)
1- الکترونی عمود بر میدان مغناطیسی یکنواختی در حرکت است. با توجه به شکل، جهت میدان $\overrightarrow{B}$ کدام است؟
بالا راست درونسو برونسو
برای بار منفی از قاعدهی دست چپ میتوان استفاده کرد. اگر چهار انگشت دست چپ را طوری در جهت حرکت ذره قرار دهیم که شست دست در جهت نیرو باشد، میدان مغناطیسی از کف دست خارج میشود. بنابراین، میدان مغناطیسی درونسو است.
2- نیروی مغناطیسی $\overrightarrow F $ وارد بر الکترونی که در میدان مغناطیسی $B$ در حرکت است، در شکل زیر، نشان داده شده است. فرض کنید راستای حرکت الکترون بر میدان مغناطیسی عمود است؛ در هریک از حالتهای نشان داده شده جهت سرعت الکترون را تعیین کنید.
چون بار ذره منفی است از قاعده دست چپ میتوان جهت سرعت را تعیین کرد.
شست دست چپ را طوری در جهت نیرو قرار میدهیم که میدان از کف دست خارج شود در این صورت چهار انگشت جهت سرعت را نشان میدهد.
تمرین 3-1 (صفحهٔ 73 کتاب درسی)
1- بر پروتونی که با زاویهٔ $\theta =30{}^\circ $ نسبت به میدان مغناطیسی یکنواختی به اندازهٔ $B=320G$ در حرکت است نیرویی به اندازهٔ $F=5/12\times {{10}^{-14}}N$ وارد میشود. تندی پروتون چند کیلو متر بر ثانیه است؟
$v=?$، $|q|=1/6\times {{10}^{-19}}C$، $F=5/12\times {{10}^{-14}}N$، $B=320G=320\times {{10}^{-4}}T$، $\theta =30{}^\circ $
$F=|q|vB\sin \theta \to v=\frac{F}{|q|B\sin \theta }=\frac{5/12\times {{10}^{-14}}}{1/6\times {{10}^{-19}}\times 320\times {{10}^{-4}}\times 0/5}=2\times {{10}^{7}}\frac{m}{s}\to v=2\times {{10}^{4}}\frac{km}{s}$
2- سه ذرّهٔ، هر کدام بار $q=6/15\mu C$ و تندی $v=46m/s$، در میدان مغناطیسی یکنواختی به اندازهٔ $B=0/165T$ در حرکتاند (شکل زیر). اندازهٔ نیروی وارد بر هر ذرّه را حساب کنید.
${{\theta }_{1}}=30{}^\circ \to {{F}_{1}}=|q|vB\sin {{\theta }_{1}}=6/15\times {{10}^{-6}}\times 46\times 0/165\times \sin 30\simeq 23/34\times {{10}^{-6}}N$
${{\theta }_{2}}=90{}^\circ \to {{F}_{2}}=|q|vB\sin {{\theta }_{2}}=6/15\times {{10}^{-6}}\times 46\times 0/165\times \sin 90\simeq 46/68\times {{10}^{-6}}N$
${{\theta }_{3}}=150{}^\circ \to {{F}_{3}}=|q|vB\sin {{\theta }_{3}}=6/15\times {{10}^{-6}}\times 46\times 0/165\times \sin 150{}^\circ \simeq 23/34\times {{10}^{-6}}N$
3- الکترونی با تندی $2/4 \times {10^5}m/s$ درون میدان مغناطیسی یکنواختی در حرکت است. اندازهٔ نیرویی که از طرف میدان مغناطیسی بر این الکترون وارد میشود، هنگامی بیشینه است که الکترون به سمت جنوب حرکت کند.
الف) اگر جهت این نیروی بیشینه، رو به بالا و اندازهٔ آن برابر $6/8 \times {10^{ - 14}}N$ باشد، اندازه و جهت میدان مغناطیسی را تعیین کنید.
چون بار الکترون منفی است برای تعیین جهت میدان از قاعده دست چپ میتوان استفاده کرد: اگر شست دست چپ طوری در جهت نیرو قرار گیرد که چهار انگشت در جهت حرکت باشد، در این صورت باید میدان از کف دست خارج شود؛ بنابراین جهت میدان به سمت غرب است.
$\to \theta ={{90}^{{}^\circ }}\to {{F}_{\max }}=\left| q \right|vB\sin {{90}^{{}^\circ }}\to {{F}_{\max }}=\left| q \right|vB$نیرو بیشینه است
$\to \frac{{{F}_{\max }}}{\left| q \right|v}=\frac{6/8\times {{10}^{-14}}}{1/6\times {{10}^{-19}}\times 2/4\times {{10}^{5}}}\simeq 1/77T\to B=1/77T$
ب) اندازهٔ میدان الکتریکی چقدر باشد تا همین نیرو را ایجاد کند؟
$F=E\left| q \right|\to E=\frac{F}{\left| q \right|}=\frac{6/8\times {{10}^{-14}}}{1/6\times {{10}^{-19}}}=4/25\times {{10}^{5}}N/C\to E=4/25\times {{10}^{5}}N/C$